Diszkrét wavelet-transzformáció Legyen m(t) a csillag fényváltozását leíró függvény. Az f frekvenciához és a η időeltolási paraméterhez tartozó wavelet-transzformáció: (3. 54) az ún. Morlet-féle analizáló wavelet egy módosított Gauss-görbe: ahol x=f(t η) és általában c=2π (a c értéke a frekvencia- és időbeli felbontás paramétere). 55) A gyakorlatban a DFT-hez hasonlóan bevezethető a diszkrét wavelet-transzformáció (DWT), amely szerint az amplitúdó spektrum: (3. 56) ahol (3. 57) (3. 58) 140 Változócsillagok és t 0 az adatsor első eleméhez tartozó idő. A Gauss-ablak félszélessége a próbaperiódussal arányos (P=1/f), nem pedig állandó érték, mint a Fouriermódszernél. Az ablakot η értékkel toljuk el az adatsor elejétől a végéig, és minden eltolásra kiszámoljuk a frekvenciaspektrumot. Fontos megjegyezni, hogy a wavelet nem egyszerűen egy adatsor feldarabolásos (ablakozott) Fourier-módszer! A csúsztatott ablakozás mellett alapvető, hogy az ablak szélessége mindig illeszkedik a keresett periódus hosszához.
5.. 17 Csillagok szerkezete A teljes hatáskeresztmetszet a rezonáns és nemrezonáns hatáskeresztmetszetek szuperpozíciójaként állítható elő. Az energiatermelés hőmérsékletfüggése A hatáskeresztmetszet hőmérsékletfüggésének kifejezéséből megadható a teljes energiakeltési ráta hőmérséklettől való függése. Írjuk az (1. 52) egyenletet formálisan hatványfüggvény alakba: (1. 63) ahol λ és ν egyelőre ismeretlen hatványkitevők. Ezek meghatározása egyszerű, ha figyelembe vesszük, hogy a többi paraméter melyik mennyiségtől hogyan függ. Mivel, ebből azonnal következik, hogy ε ρ, azaz λ=1. A hőmérséklet kitevőjének kiszámítására használjuk az alábbi logaritmikus deriváltat: (1. 64) Mivel a hőmérsékletfüggést a hatáskeresztmetszet határozza meg, az (1. 60) és (1. 62) összefüggésekből adódik, hogy a nemrezonáns, a rezonáns esetben. A hőmérséklet hatványkitevője tehát maga is hőmérsékletfüggő (azaz a függvény nem tisztán hatványfüggvény). A gyenge kölcsönhatás szerepe 18 Csillagok szerkezete A termonukleáris reakciókban az erős és elektromágneses kölcsönhatás mellett fontos szerepet játszik egy harmadik fajta kölcsönhatás is.
132) 15 A matematikai statisztikában a (30006. 130) függvényt 2-pont-kovarianciának nevezik. A statisztikai homogenitás és izotrópia miatt (30006. 130) csak konstanstban tér el a statisztikában használatos 2-pont-korrelációs függvénytől. 252 Struktúraképződés és a kozmológia alapjai Itt a gravitációs potenciál kezdeti perturbációját jelenti, amely meghatározza az összes változóra vonatkozó kezdeti feltételt. A gravitációs potenciál perturbációja szintén Gauss-eloszlást követő homogén és izotrop valószínűségi mező. A 2-pont-korrelációs függvényének Fourier-transzformáltja adja a kezdeti teljesítményspektrumot. A homogenitás és izotrópia miatt a gravitációs potenciál-perturbáció Fourier-transzformáltja különböző hullámszámú fluktuációi közti korrelációs függvény: (6. 133) Felhasználva Fourier-transzformáltjának Legendre-polinomok szerinti kifejtését, a gömbfüggvények addíciós tételét és (30006. 131) összefüggést, a szög-teljesítményspektrum kifejezhető a anizotrópiamomentumokkal és a kezdeti teljesítményspektrummal [37]: 16 (6.
Szokás ezt a hiányzó elméletet a Mindenség elméletének (Theory of Everything; TOE) is nevezni, ez összes változatában egyesíti a négy kölcsönhatást. Elsőként a gravitáció szakad le, az erős és elektrogyenge kölcsönhatások egyesített leírását a (megfigyelésekkel egyelőre meg nem erősített) nagy egyesített elméletek kísérelik meg. Az Univerzum 13, 77 milliárd éves története vázlatosan a Planck-korszaktól (kvantumfluktuációk), infláción, lecsatolódási és sötét korszakokon át, a struktúra kialakulásán keresztül, a sötét energia által dominált jelenig. [ A standard kozmológiai modell problémáit az infláció korszaka oldja fel. Ennek során az Univerzum a fénynél sebesebben tágul, miközben nagysága megtöbbszöröződik. Az inflációs korszak során, 10 12 TeV energián az erős kölcsönhatás leválik az elektrogyengéről. A fénynél gyorsabb tágulást az inflaton tér hozza létre. Az 214 Struktúraképződés és a kozmológia alapjai inflációs korszak az inflatonok bomlásával ér véget, a bomlástermékek a részecskefizikai standard modell elemi részecskéi (leptonok, kvarkok, mérték bozonok), valamint esetleg még nem ismert részecskék.
253 Struktúraképződés és a kozmológia alapjai vizsgálják. A Planck szonda adataiból készített teljesítményspektrum 7 csúcsot tartalmaz, szemben a WMAP által azonosított 4 csúccsal, így a kozmológiai paraméterek pontosabban határozhatók meg. A hőmérsékleti teljesítményspektrumot meghatározó fontosabb kozmológiai effektusok A mérések alapján a háttérsugárzás majdnem tökéletes feketetest-sugárzás. A feketetest-sugárzástól való eltérések a lecsatolódáskori fluktuációkat tükrözik, azonban a lecsatolódás óta ezeket más hatások is alakították. Az alfejezet ezeket foglalja össze. Sachs Wolfe-effektus A fotonok eloszlása a Compton szórás következtében a lecsatolódásig követte a nemrelativisztikus anyagét, ezért hőmérséklet-ingadozása az utolsó szóródási felület sűrűségeloszlását mutatja. A nagyobb sűrűségű részből származó fotonok energiája nagyobb a magasabb energiasűrűség miatt, mint a ritkább helyről származóknak. Másrészt a nagyobb sűrűségű helyeken mélyebb a gravitációs potenciál, így a kilépő fotonok gravitációs vöröseltolódása is nagyobb.
Hiányossága, hogy az XRG-k eddigi közvetlen megfigyelése nem tette lehetővé igazolását. 4) Spinátfordulás a fekete lyukak összeolvadása során A fekete lyuk spinjének irányváltozására természetes magyarázatot ad egy másik fekete lyukkal való egyesülés folyamata. A spin irányának megváltozása akár a hosszú bespirálozás, akár az ezt követő rövid ún. bezuhanás korszakában bekövetkezhet. Előbbi esetben a bejövő fekete lyuk tömege egy nagyságrenddel kisebb, míg utóbbi eset az összemérhető tömegű fekete lyukakra jellemző. Megmagyarázza az XRG-kre talált nagyobb tömeget. Összhangban áll azzal a megfigyeléssel, hogy a nyalábpárok spektruma általában nem egyforma. Egyiküknek meredek a rádióspektruma, ami azzal magyarázható, hogy a közelmúltban nem kapott energiautánpótlást (vagyis régi nyalábról van szó, ún. szinkrotron kora tipikusan néhányszor 10 7 év). Ezzel szemben a másiknak aránylag lapos a spektruma, ez egy fiatal nyaláb. A másodlagos lebenyek a régi, elhaló nyaláb maradványai, az elsődleges lebenyek újak, tehát energetikusak (FR II típusúak).
A CMB hosszúhullámú (nagy skálán érvényes, kε 1 feltételt teljesítő) perturbációi a Cl spektrum kis l értékeinél jelentkeznek (mivel a hullámszám arányos l-lel). A számolás azt mutatja, hogy ebben az esetben az utóbbi hatás a domináns, a nagyobb sűrűségű helyről származó fotoneloszlás hőmérséklete alacsonyabb, mint a ritkább helyről származóké. Ez a Sachs Wolfe-effektus. Integrális Sachs Wolfe-effektus Akkor lép fel, ha a gravitációs potenciál megváltozik a foton be- és kilépése között eltelt idő alatt. A foton belépésekor kékeltolódást szenved, kilépésekor pedig vöröseltolódást. Utóbbi nagyobb, amennyiben időközben mélyült a potenciálgödör (pl. gravitációs kollapszus következtében), illetve kisebb, amennyiben sekélyebbé vált (pl. gyorsuló kozmikus tágulás miatt). Utóbbi esetben a folyamatot a animáció mutatja be [45]. A 30006. 131 alfejezetben láttuk, hogy sík Friedmann-téridő perturbációi esetén pordominált korszakban, kizárólag porból álló Univerzumra a gravitációs potenciál konstans.