A továbbiakban mind a kétféle jelölést használni fogjuk. 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 7 Az f(x)-et az f függvény x helyen felvett értékének nevezzük. (Az y-t az f függvény x helyen felvett értékének nevezzük. ) 1 1 Ha egy f függvény a -höz például az -et rendeli. Ezt úgy jelöljük, hogy: f () =. Az egyszerűség kedvéért megállapodunk abban, hogy ha a hozzárendelési szabályt képlettel adjuk meg, és mást nem mondunk, akkor a függvény értelmezési tartománya az összes olyan valós számból álló halmaz, amelyekre a kijelölt műveletek elvégezhetők. 9. Legyen az f ( x) = x + 1! Válaszold meg a kérdéseket! a) Igaz- e, hogy f() = 5? b) Igaz- e, hogy f(1) =? c) Van-e x-nek olyan értéke, amelyre f(x) = 3? d) Igaz- e, hogy f(3) = 1? e) Igaz- e, hogy f(1, 5) = 4? f) Van-e olyan szám, amelyet az f(0)-val jelölhetünk?. Laciék dolgozatot írtak. A dolgozat témája a függvények értelmezési tartományának megállapítása (a megállapodást figyelembe véve) és néhány helyettesítési érték kiszámítása volt.
Az elsőfokú függvény grafikonjának általános egyenlete tehát: y=ax +b. 507
Függvényérték transzformáció Változó transzformáció Eltolás f(x) + c y tengely mentén ha c>0, akkor pozitív, ha c<0, akkor negatív irányban f(x+c) x tengely mentén ha c>0, akkor negatív, ha c<0, akkor pozitív irányban Nyújtás, zsugorítás c f(x) ha c>1, akkor nyújtás, ha c<1, akkor zsugorítás f(cx) ha c>1, akkor zsugorítás, ha c<1, akkor nyújtás Tükrözés −f(x) x tengelyre tükrözés f(−x) y tengelyre tükrözés 8. osztályban a parabola és az abszolútérték függvény eltolásait mutatjuk meg egyszerű példákon. Ezt lehet gyakorolni az alábbi feladatokban: A gyerekeknek mutatunk olyan, nem megszokott példákat is, amelyek nem lineáris, abszolútérték vagy másodfokú függvények. Példa: Egy áruházban minden vásárláshoz 1000 forintonként egy matricát adnak ajándékba. Hány forintért vásárolhattunk, ha 4 matricát kaptunk? Megoldás: A fizetett összeg 4000 Ft vagy több, és kisebb 5000 Ft-nál. A példában szereplő függvényt ábrázolva az egészrész függvényhez hasonló grafikont kapunk.
b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nagyobb, mint az első, és jelöljük ezeket kékkel. c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem nagyobb, mint az első, és jelöljük ezeket zölddel. A következő feladat előtt töröld le a tábládat!. a) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája az első koordináta ellentettje, és jelöljük ezeket pirossal! Írd le a feladat szövegét képlettel is! b) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája nem kisebb, mint az első koordináta ellentettje, és jelöljük ezeket kékkel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! c) Keressük a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, amelyeknek második koordinátája kisebb, mint az első koordináta ellentettje, és jelöljük ezeket zölddel! Írd le a feladat szövegét képlettel is! 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 17 A következő feladat előtt töröld le a tábládat!
a) Olvasd le, mennyit ér 1 beosztás a vízszintes és a függőleges tengelyen! b) Milyen messze van az A állomástól a B, C és D? 14 MATEMATIKA A 8. ÉVFOLYAM TANULÓI MUNKAFÜZET c) Melyik vonat áll meg a B és a C állomáson is? d) Mennyi ideig mekkora sebességekkel haladt az 1. vonat? e) Mekkora az egyes vonatok átlagsebessége az A-tól D-ig terjedő távolságon! f) Rajzold be egy olyan vonat pályáját, amely reggel 9 óra 45 perckor indul A-ból, B-be érkezik 10 órakor, ott 10 percet áll, majd megállás nélkül D-be érkezik 10 óra 40 perckor. Mekkora volt az átlagsebessége? 3. Add meg az alaphalmazt és a képhalmazt! Mi lehetett a hozzárendelés szabálya? a) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: 4 5 6 3 7 b) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: a = cm a = 3 cm a = 1 cm a = 1, 5 cm a = 10 cm 8 cm 1 cm 4 cm 6 cm 40 cm c) A szám párok pontokat jelölnek a koordinátasíkon. A (1; 3) B (; 5) C ( 3;) D (3; 0) E ( 1;) A (1; 3) B (; 5) C ( 3;) D (3; 0) E ( 1; -) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: d) a = 1 m a = m a = 1, 5 m a = 3 m a = 10 m 1 m 3 8 m 3 3, 375 m 3 7 m 3 1000 m 3 Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: 0861. modul: HOZZÁRENDELÉSEK, FÜGGVÉNYEK Grafikonok vizsgálata 15 e) Alaphalmaz: Képhalmaz: Szabály: 5 9 0 14.
Készíts egy táblázatot, és adj meg egy bedobott és egy hozzátartozó kidobott számot! A társad próbálja meg kitalálni a gép működését! Ha nem sikerül, akkor újabb és újabb számpárokat adj meg, mindaddig, amíg társad rá nem jön a szabályra! B feladata: Ki kell találnod a gép működési szabályát a társadtól kapott számpárok alapján! Foglald táblázatba a bemenő és a kijövő számokat, és ábrázold a számpárnak megfelelő pontokat! Minden újabb számpár után tippelned kell! Próbáld minél kevesebb információ alapján kitalálni a szabályt! Most megint cseréjetek szerepet! 6. A feladata: Találj ki valamilyen működési szabályt, de ne mond meg a társadnak! Készíts egy táblázatot, és adj meg egy bedobott és egy hozzátartozó kidobott számot! A társad próbálja meg kitalálni a gép működését! Ha nem sikerül, akkor újabb és újabb számpárokat adj meg, mindaddig, amíg társad rá nem jön a szabályra! B feladata: Ki kell találnod a gép működési szabályát a társadtól kapott számpárok alapján! Foglald táblázatba a bemenő és a kijövő számokat!
Hol metszi egymást az f ( x) = 7, és a g ( x) = x + 5 függvény grafikonja, ha a függvényeket a tanult számok halmazán értelmezzük? N feladatsor (nehezebb feladatok) N1. Melyek azok a számok, amelyekhez az f függvény nagyobb számot rendel, mint a g függvény? A függvényeket a tanult számok halmazán értelmezzük. Készíts táblázatot, majd ábrázold a függvényeket! f( x) = x + 1 és g( x) = x + 4 N. Fürdéshez 5 perc alatt töltöttük meg a 100 literes kádat vízzel. Negyed óráig fürödtünk, majd leengedtük a vizet. A lefolyón percenként 10 liter víz folyik le. Ábrázold az eltelt idő függvényében a kádban levő víz térfogatát! A csap megnyitásához képest mikor volt a kádban 50 liter víz? N3. Add meg a hozzárendelési szabályát annak a lineáris függvénynek, amely a P ( 5; 8) és Q ( 1; 0) pontokon halad át! 8 x 3 N4. Adj meg olyan lineáris függvényt, melynek grafikonja párhuzamos az f ( x) = függvény grafikonjával, és olyat is, amely az y tengelyt ugyanott metszi! 5 tanunlói munkafüzet 0791. Függvények fogalma, ábrázolása 149 feladatgyűjtemény 1.
Osszátok el egymás között az A és B betűket! Minden feladathoz készítsetek egy-egy táblázatot a füzetbe, amelynek felső sorába a bedobott számok, az alsóban pedig a kidobott számok szerepelnek! 1. A feladata: Adj meg egyenként 10 különböző természetes számot ( n N)! Ezeket egyenként dobd be a gépbe, és várd meg, amíg a társad kitalálja, hogy melyik számot adja ki a gép! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! B feladata: A társadtól kapott számokhoz egyenként határozd meg a gép által kidobott számot! Foglald táblázatba a bedobott, illetve a kidobott számokat! Ábrázoljátok a saját koordináta-rendszeretekben azokat a pontokat, amelyeknek első koordinátája a bedobott, második pedig a kidobott szám! Írjátok le képlettel, hogy mi az összefüggés a pontok második és első koordinátája között! (A pont első koordinátáját x-szel, másodikat y-nal jelöltük. ) Most cseréljetek szerepet!. B feladata: Adj meg egyenként 10 különböző egész számot ( z Z)! Ezeket egyenként dobd be a gépbe, és várd meg, amíg a társad kitalálja, hogy melyik számot adja ki a gép!
b) Készítsd el a grafikonjaikat! c) Minden feladatban egy értékpárt hibásan adtunk meg. Ki tudod találni melyik a kakukktojás? d) Keress olyan pontokat, melyek biztosan lehetnének ennek a grafikonnak pontjai! I. x 3 4 1 3 0 f( x) =? 11 1 1 8 7 6 9 tanunlói munkafüzet 0791. Függvények fogalma, ábrázolása 155 II. x 3 4 1 3 0 g( x) =? 3 4 6 3 4 1 III. x 3 4 1 3 0 h ( x) =? 1 3 3 5 1 18. A felsorolt lineáris függvényeket a tanult számok halmazán értelmezzük. Ábrázold a függvényeket koordináta-rendszerben, állapítsd meg, hol metszik a grafikonok az x, y tengelyeket! a) a( x) = x b) b( x) = x + 8 1 c) c( x) = x 3 d) d( x) = 4 3x e) f) 6 e( x) = x + 5 4 x f( x) = 3 g) g( x) = 5 ( x + 7) h) h( x) = 1 ( 9x 1) i) i( x) = ( 5 5x) + ( 3x) 19. Válaszd ki az elsőfokú függvényeket a grafikonok alapján! Ezekhez készíts legalább 6 tagból álló értéktáblázatot, és keresd meg a hozzárendelési szabályokat! 156 matek A 7. hozzárendelések tanulói munkafüzet 0. Keresd meg annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, amely a) mindkét tengelyt 3-nál metszi; b) mindkét tengelyt 4-nél metszi; c) az x tengelyt 1-nél, az y tengelyt 5-nél metszi; d) az x tengelyt 6-nál, az y tengelyt 1-nél metszi; e) az x tengelyt -nél, az y tengelyt 1-nél metszi; f) átmegy a (1; 3) és a (; 5) pontokon; g) átmegy a ( 1; 3) és a (; 5) pontokon; h) átmegy a (3; 3) és a ( 6;) pontokon!