Dr. Gerőcs László: A kétszintű szóbeli matematika érettségi kézikönyve (DFT-Hungária lapkiadó, 2005) 2. Matematika tételek (Corvina kiadó, 2004) [5] xviktor2005-05-12 18:47:22 Köszönöm szépen mindenkinek a segítséget. [6] KoLeRA2005-06-06 12:17:11 Analízis tétel a legjobb!!! Nem tudom ti hogy vagytok vele, de én útálom a geometriai tételeket, főleg mikor külön van szedve háromszögek nevezetes pontjai és háromszögek nevezetes körei, mikor a két tételt simán egybe lehetett volna mosni, mint ahogy egybemostak egy egggész témakört, az analízist. Akkor inkább szedték volna az utóbbit is szét 2 vagy 3 részre. Dettó ugyanez a számhalmazoknál... Gondolom páran nézegettétek sulineten a számhalmazok tételt, hát nem tudom, szerintem fölösleges tárgyalni számelmélet alaptételét, meg legnagyobb közös osztót, legkisebb közös többszöröst meg ilyeneket ahhoz a tételhez. Én ahhoz a tételhez matematikaitörténetet gondoltam, hogy melyik számhalmaz hogyan és miért alakult ki, mely müveletek nem vezettek ki abból a számkörből, inverz műveletek, pár érdekesség és igy tovább.
Félévközi követelmények: A félév teljesítéséhez az előadásokon és a gyakorlatokon való aktív részvétel szükséges. A félév során két zárthelyi dolgozatot írunk a fentebb megadott időpontokban. Az előadás teljesítésének (azaz az aláírás megszerzésének) feltétele, hogy a két zárhelyi dolgozat maximális pontszámának legalább 30%-át el kell érni. Gyakorlati jegyet az kaphat, aki a előadáson az aláírást megszerezte. A gyakorlati jegy értéke az alábbiak szerint alakul: 31-49% elégtelen, 50-69% elégséges, 70-79% közepes, 80-89% jó és 90-100% jeles. Kötelező irodalom: Bíró Fatime, Vincze Szilvia: A gazdasági matematika alapjai, Egyetemi jegyzet. Ajánlott irodalom: Sydsater, Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula Kiadó. Denkinger Géza, Gyurkó Lajos: Analízis gyakorlatok, Nemzeti Tankönyvkiadó. A kurzussal és a követelmények teljesítésével kapcsolatos kérdésekben a Debreceni Egyetem Tanulmányi és Vizsgaszabályzata, illetőleg a Debreceni Egyetem etikai kódexe az irányadóak.
HomeBlog A tanórán kimondjuk és bizonyítjuk a binomiális tételt, ill. felevenítjük a Pascl-háromszögön keresztül a binomiális együtthatók tulajdonságait. Emelt szintű gyakorló feladatok a hétvégére: Középszintű gyakorló feladatok a hétvégére:
Elegendő csak az a-k kitevője szerint vizsgálódni, hiszen ha a kitevője a rögzített k, akkor b kitevője már egyértelműen n-k. Annyiféle akbn-k alakú tag lehet tehát, ahányféleképp n db. a szorzót választhatunk az n darab (a+b) zárójelből (a többi szorzó automatikusan b), tehát ahányféleképp az n db. a szorzó közül kiválaszthatunk k db. a szorzót, vagyis ahányféleképp egy n elemű halmazból (az a szorzók halmazából) kiválasztható k db. elem (k darab a szorzó); s ez a szám egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a számát megadó binomiális együttható,. Tehát két tag összegének n-edik hatványa valóban n összegű kitevőjű a- és b alapú hatványok szorzatainak ("tagok") összege, és az egyes tagok együtthatója valóban a képletben szereplő binomiális együttható ■. Indukciós bizonyításSzerkesztés Teljes indukciót használunk, a "Pascal-képletet" is alkalmazva (). Ha n = 0, akkor és = 1·1·1 = 1valóban igaz, mert bármely valós szám, illetve kommutatív félgyűrűelem nulladik hatványa definíció szerint 1.
Ezért ezeket összegezni kell:, ami épp a kezdeti felírás jobb oldala; ezzel beláttuk a képlet igaz voltát. Nézzünk néhány példát: esetén mennyi lesz az együtthatója? A képlet alapján:, ami ilyen egyszerű esetben minden tag minden taggal való összeszorzásából, vagy a binomiális tételből (ami a polinomiális tétel speciális esete) vagy a Pascal háromszögből szintén meghatározható. De mi a helyzet, ha mondjuk esetén az tag együtthatóját keressük? A válasz a képlet alapján:, ami meglepőnek látszik, de a tétel alapján ez a megoldás. Newton általánosított binomiális tételeSzerkesztés Isaac Newton első jelentős matematikai felfedezése volt a binomiális tétel általánosítása racionális kitevőkre. Képlete azonban komplex kitevőkre is érvényes: ahol r tetszőleges komplex szám, az általánosított binomiális együtthatók kiszámítása pedig a következő:;[3] vagy pedig; ahol az ún. Pochhammer-szimbólum. A binomiális tétel a kultúrábanSzerkesztés Sir Arthur Conan Doyle Sherlock Holmes-történeteiben az elvetemült Moriarty professzor a szerzője az A Treatise on the Binomial Theorem (Értekezés a binomiális tételről) c. munkának.
Legfeljebb kevesen vesznek róla tudomágyzetekSzerkesztés↑ Például a Gyors bináris alapú hatványozás, ami körülbelül 2log(n) szorzást igényel. A két szám, a és b összeadása utáni hatványozásból a binomiális tétel "jobb" oldala alapján n+1 hatványozást igényel, ami nagyságrendileg jóval több, mint 2log(n), és akkor a binomiális együtthatók kiszámításáról és az ezekkel való szorzásról még szó sem esett. A két eljárás számításigény-viszonyának pontos felbecslése nehéz, függ az alkalmazott módszerektől is (például gyors szorzáskor az a és b összegét át kell írni kettes számrendszerre, de ez is csak kb. log2(a+b) db. maradékos osztást követel; a binomiális együtthatók számításigénye függhet attól, hogy rekurzív módon vagy faktoriálisokká kifejtve számolunk-e, de nagyon durva közelítéssel is, a binomiális tétellel való számolás nagy kitevők esetén jóval számításigényesebb. ↑ Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji életrajza a Szent András-Egyetem honlapján (MacTutor Archive). ↑ A k = 0, esetben a képlet "tényezők nélküli szorzat", így szükségképp 1, a k = 1 esetben pedig r. ↑ A Newton-féle – F. Pessoa verse a Ponticulus Hungaricus c. webhelyen További információkSzerkesztés Lawrence Neff Stout: Aesthetic Analysis of Proofs of the Binomial Theorem (A binomiális tétel három bizonyításának esztétikai analízise) – angol PDF.
I. zárthelyi dolgozat. Összefoglaló feladatok Lineáris leképezések. Az n-dimenziós Eukideszi tér fogalma. Többváltozós függvények. Szélsőérték, határérték, folytonosság, parciális derivált fogalma. Feladatok: Parciális deriválás Feladatok: Feltétel-nélküli szélsőértékszámítás. Feltételes szélsőértékszámítás. Feladatok: Többváltozós függvények feltételes szélsőértékszámítása. Kombinatorika: permutáció, variáció és kombináció fogalma. Binomiális tétel. Feladatok: Kombinatorika Eseményalgebra, beveztés a valószínűségszámításba. Feladatok. A valószínűségszámítás alapjai, tulajdonságai. Klasszikus valószínűségszámítás, mintavételezéses eljárások. feltételes és feltétel nélküli valószínűségszámítás. teljes valószínűség és Bayes tétele. Feladatok. Összefoglaló feladatok Az előadások anyaga és a feladatok letölthetők a linkekre kattintva. (Javasolt, hogy az előadásokra a letöltött anyagot hozzák magukkal, és az előadásokon elhangzottakkal egészítsék ki a nyomtatott anyagot a könnyebb értelmezhetőség kedvéért. )
Több érdekes tulajdonsága van ennek a háromszögnek. Például bármely eleme a két fölötte lévő összege. Emiatt bármeddig tudjuk folytatni a Pascal-háromszöget. Azt is észreveheted, hogy a Pascal-háromszög tengelyesen szimmetrikus. A feladat 2. megoldásából következik, hogy ezek a számok kombinációk számai. Például a 4. sor 2. eleme megadja négy elem másodosztályú kombinációinak a számát, vagy másképpen: egy négyelemű halmaz kételemű részhalmazainak a számát. Ezért aztán, ha összeadjuk a 4. sorban a számokat, megtudjuk, hogy összesen hány részhalmaza van ennek a halmaznak. Az összeg 16, a négyelemű halmaznak 16 részhalmaza van. A feladatban kapott 32 pedig az ötelemű halmaz részhalmazainak a számát jelenti. Ha megnézzük a többi összeget is, látjuk, hogy ezek mind a 2 hatványai. Bebizonyítható, hogy a Pascal-háromszög n. sorában a tagok összege ${2^n}$ (2 az n-ediken). Felmerül a kérdés: miért binomiális együtthatóknak nevezzük ezeket a számokat? A binom szó azt jelenti, kéttagú. Például az a+b kifejezés egy binom.
Elég-e felvázolni a kombinatorikus valószínűség alapfeltételeit (3 sor)? Remélem, másnak is hasznára válnak a kérdéseim, és nem csak egy ember miatt dolgoztatok:) Előzmény: [32] Doom, 2006-04-27 16:45:32 [36] mutagato22006-05-08 16:11:31 sziasztok! nem tudja valaki, hogy hogy lehetne lemondani az emeltet? Esetleg jövőre? [35] jonas2006-05-08 20:56:40 Kérdezd meg a legértelmesebb igazgatóhelyettest a sulidban, hogy lehetséges-e. Előzmény: [36] mutagato2, 2006-05-08 16:11:31 [38] kszotyi2006-05-16 10:36:21 hello most készülök a szóbelire, és azt szeretném kérni hogy ha tudja valaki honnan lehet tételeket letölteni vagy esetleg tudna nekem küldeni, az legyen szives irjon nekem a cimre... előre is köszönöm KZ [39] kántor bitor2006-05-23 11:59:55 Helló. Nekem is a 3-dik tétellel kapcsolatban lenne a kérdésem, hogy mit javasoltok bizonyításnak? Illetve, hogy a közepek hogyan alkalmazhatóak szélső érték feladatok megoldásában? [40] Csimby2006-05-23 12:38:08 A legegyszerűbb talán az, hogy adott kerületű téglalapok közül a négyzetnek a legnagyobb a területe.
[86] csedit2006-06-07 06:15:37 Köszi! :-) Kezdek pánikolni... Van is rá okom, mert csak 64 százalékos lett az írásbelim. Nektek hogy sikerült? Előzmény: [85] Doom, 2006-06-07 00:50:31 [87] sunandshine2006-06-07 09:00:06 egy kis gyors segítség kéne, még most jövök rá, mennyi mindent nem lesz a szóbelim, szóval nem tudom mit írjak a 25. tétel(bizonyítási módszerek) alakalmazásaihoz? lécci segítsetek ha tudtok valami jót [88] sunandshine2006-06-07 09:04:06 és szerintetek elég, ha átfutom a logika alapfogalmait(állítás, tagadás, implikáció, diszjunkció stb... )és aztán elmondom az alapvető bizonyítási módszereket, 1-1 tétellel:direkt, indirekt, teljes indukció, skatulyaelv és szorzattá alakítás lécci segítsetek, mert holnapra még ezer kérdésem lenne, de igyekszem szelektálni [89] Doom2006-06-07 09:36:23 Szerintem az azok alapfogalamk nem szükségesek, elég hosszú a tétel, így ezen ne menjen el idő. Inkább definícióként mond el a mószereket pl. Indirekt bizonyítás: Az állítás tagadásának feltételezéséből, helyes logikai lépések során ellentmondásra jutunk.